![[求助]图中一共有多少个三角形？](/0.jpg)
查看: 4783|回复: 38
[求助]
图中一共有多少个三角形？
[复制链接]
nyy
nyy
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2021-11-19
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分9786
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
电梯直达
1#
发表于 2024-11-4 10:51:14
|
只看该作者
|倒序浏览
|阅读模式
马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。
您需要 登录 才可以下载或查看，没有账号？欢迎注册
×
本帖最后由 nyy 于 2024-11-4 11:02 编辑
以前在视频号上看到一个类似的题目，但是没答案。
我也不知道怎么计算，我唯一能想到的就是穷举法，
但是穷举法也比较烧脑筋。
有没有什么好的思路？思路越清晰越简单越好！
应该是8段，而不是8断。拼音输入法的毛病。写这个8段是方便别人不用数，9个点
QQ截图20241104104905.jpg
(100.32 KB, 下载次数: 23)
下载附件
2024-11-4 10:49 上传
点评
gxqcn
断？段？一条线，断 k 次，应形成 k+1 段，对吧？
发表于 2024-11-4 11:00
收藏0
转播
分享
淘帖0
支持0
反对0
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
使用道具
举报
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
千斤顶
显身卡
nyy
nyy
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2021-11-19
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分9786
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
2#
楼主|
发表于 2024-11-4 10:58:37
|
只看该作者
图中任意取三点，一共45个点，C(45,3)，再减去三点共线的情况，但是还需要去掉一些根本不存在的情况。这个思路死了
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
nyy
nyy
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2021-11-19
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分9786
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
3#
楼主|
发表于 2024-11-4 11:59:53
|
只看该作者
本帖最后由 nyy 于 2024-11-4 12:07 编辑
nyy 发表于 2024-11-4 10:58
图中任意取三点，一共45个点，C(45,3)，再减去三点共线的情况，但是还需要去掉一些根本不存在的情况。这个 ...
目前我计算出来，一共有330个三角形。
假设每边的段数是n，那么我猜测三角形的个数为
\[\frac{1}{24} n (n+1) (n+2) (n+3)\]
点评
nyy
猜测错误
发表于 2024-11-4 12:47
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
nyy
nyy
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2021-11-19
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分9786
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
4#
楼主|
发表于 2024-11-4 12:11:53
|
只看该作者
nyy 发表于 2024-11-4 11:59
目前我计算出来，一共有330个三角形。
假设每边的段数是n，那么我猜测三角形的个数为Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
pt={Cos[60deg],Sin[60deg]}
n=8;(*每边的段数*)
(*产生所有的三角形的顶点的坐标,形成列表*)
aa=Flatten[#,1]&@Table[i*pt+{j,0},{i,0,n},{j,0,n-i}]
(*产生所有的可能的组合,三个点形成三角形(包括蜕化的三角形)*)
bb=Subsets[aa,{3}];
(*三边相等,根据这个条件,选出所有的可能*)
cc=Select[bb,(EuclideanDistance[#[[1]],#[[2]]]==EuclideanDistance[#[[1]],#[[3]]]==EuclideanDistance[#[[2]],#[[3]]])&]
dd=Length[cc](*计算个数*)
复制代码
穷举法，
1、列出所有的点，
2、然后从这点选出三个点，形成所有的三点组合，
3、再选出能够形成等边三角形的情况。
对于n=8（一个边被分成8段）的情况，有330个三角形
点评
nyy
程序有bug，因为三角形必须有一边平行x轴，而这当中有的三角形的一边不平行x轴
发表于 2024-11-4 12:24
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
nyy
nyy
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2021-11-19
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分9786
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
5#
楼主|
发表于 2024-11-4 12:36:52
|
只看该作者
这是一个有趣的问题，但是这并不是一个容易的问题
https://www.jstor.org/stable/3613774
How Many Triangles?
https://oeis.org/A002717
Number of triangles in triangular matchstick arrangement of side n, for n >= 1
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
pt={Cos[60deg],Sin[60deg]}
n=8;(*每边的段数*)
(*产生所有的三角形的顶点的坐标,形成列表*)
aa=Flatten[#,1]&@Table[i*pt+{j,0},{i,0,n},{j,0,n-i}];
(*产生所有的可能的组合,三个点形成三角形(包括蜕化的三角形)*)
bb=Subsets[aa,{3}];
(*三边相等,根据这个条件,选出所有的可能,*)
cc=Select[bb,And[(EuclideanDistance[#[[1]],#[[2]]]==EuclideanDistance[#[[1]],#[[3]]]==EuclideanDistance[#[[2]],#[[3]]]),Or[(#[[1,2]]==#[[2,2]]),(#[[1,2]]==#[[3,2]]),(#[[2,2]]==#[[3,2]])]]&];
dd=Length[cc](*计算个数*)
复制代码
我先计算出n=8的情况，找出三角形的个数，三角形有一边必然平行x轴，因此纵坐标相等。再加上等边三角形这个约束条件。最后找出n=8的情况。
再依次找出n=4,5,6,7的情况，最后去上面的网站搜索一下这个数列，最后找到了这个结果。
通项公式为a(n) = floor(n(n+2)(2n+1)/8)，这个通项公式，还是很让人意外的！难关我想不出来！
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
nyy
nyy
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2021-11-19
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分9786
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
6#
楼主|
发表于 2024-11-4 12:44:21
|
只看该作者
https://math.stackexchange.com/q ... /how-many-triangles
这地方有个提问的回答，开起来很不错！
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
王守恩
王守恩
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2017-1-14
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分10326
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
7#
发表于 2024-11-4 13:05:07
|
只看该作者
从简单想起。主帖=8层
1层=001=01=单个
2层=005=04+1=单个+4个
3层=013=09+3+1=单个+4个+9个
4层=027=16+6+3+1+(1)=单个+4个+9个+16个+(单个)。()表示尖朝下。
5层=048=25+10+6+3+1+(3)=单个+4个+9个+16个+25个+(4个)。()表示尖朝下。
6层=078=36+15+10+6+3+1+(6+1)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+(4个+9个)。()表示尖朝下。
7层=118=49+21+15+10+6+3+1+(10+3)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+(4个+9个)
8层=170=64+28+21+15+10+6+3+1+(15+6+1)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+(4个+9个+16个)
点评
nyy
来，给我计算一下n=20的时候的三角形的个数
发表于 2024-11-5 08:45
王守恩
4层=027=16+6+3+1+(1)=单个+4个+9个+16个+(4个)。()表示尖朝下。
9层=235=81+36+28+21+15+10+6+3+1+(21+10+3)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个+(4个+9个+16个)
发表于 2024-11-4 17:20
王守恩
订正：4层=027=16+6+3+1+(1)=单个+4个+9个+16个+(4个)。()表示尖朝下。
发表于 2024-11-4 17:19
nyy
你是不是看了上面的链接？？？？？？？
发表于 2024-11-4 13:50
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
aimisiyou
aimisiyou
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2014-12-24
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分6750
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
8#
发表于 2024-11-4 14:04:40
|
只看该作者
有通项公式。
点评
nyy
上面已经给出了通项公式呀，难道你没看到？
发表于 2024-11-4 14:41
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
nyy
nyy
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2021-11-19
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分9786
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
9#
楼主|
发表于 2024-11-4 14:45:40
|
只看该作者
本帖最后由 nyy 于 2024-11-4 14:47 编辑
aimisiyou 发表于 2024-11-4 14:04
有通项公式。
通项公式
\[\left\lfloor \frac{1}{8} n (n+2) (2 n+1)\right\rfloor\]
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
aa=Table[{n,Floor[n(n+2)(2n+1)/8]},{n,1,20}]
Grid[aa,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码
前二十项的数据
{{1, 1}, {2, 5}, {3, 13}, {4, 27}, {5, 48}, {6, 78}, {7, 118}, {8,
170}, {9, 235}, {10, 315}, {11, 411}, {12, 525}, {13, 658}, {14,
812}, {15, 988}, {16, 1188}, {17, 1413}, {18, 1665}, {19,
1945}, {20, 2255}}
列表
\[\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
2 & 5 \\
3 & 13 \\
4 & 27 \\
5 & 48 \\
6 & 78 \\
7 & 118 \\
8 & 170 \\
9 & 235 \\
10 & 315 \\
11 & 411 \\
12 & 525 \\
13 & 658 \\
14 & 812 \\
15 & 988 \\
16 & 1188 \\
17 & 1413 \\
18 & 1665 \\
19 & 1945 \\
20 & 2255 \\
\end{array}\]
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡
aimisiyou
aimisiyou
当前离线
主题0
回帖
精华
注册时间2014-12-24
最后登录1970-1-1
威望 星
金币 枚
贡献 分
经验 点
鲜花 朵
魅力 点
上传 次
下载 次
积分6750
在线时间 小时
IP卡
狗仔卡
10#
发表于 2024-11-4 16:02:36
|
只看该作者
nyy 发表于 2024-11-4 14:45
通项公式
\[\left\lfloor \frac{1}{8} n (n+2) (2 n+1)\right\rfloor\]
你这错的不忍直视。
点评
aimisiyou
你咋像气球一样，别人一扎你就破防了？
发表于 2024-11-4 17:58
nyy
你水平菜，不敢相信罢了！
发表于 2024-11-4 17:07
毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情
回复
支持
反对
使用道具
举报
显身卡